Розв’язність та чисельна реалізація систем граничних інтегральних рівнянь у задачах коливань тонких пружних пластин

Abstract

UA: У роботі побудовані математичні моделі для декількох типів задач динаміки тонких пружних пластин у рамках моделі Кірхгофа, а саме для першої та другої основних задач динаміки тонких пружних пластин, контактної задачі, задачі зі змішаними крайовими умовами та задачі динаміки тонких пружних пластин, що послаблені тріщинами. Підхід до розв’язання всіх цих задач ґрунтується на зображенні їхніх розв’язків поверхневими потенціалами простого та подвійного шарів, що будуються на основі фундаментального розв’язку рівняння коливань тонкої пружної пластини. Використання методів теорії потенціалу зводить вихідні задачі до різноманітних систем граничних рівнянь відносно невідомих густин потенціалів. Дослідження розв’язності отриманих систем граничних рівнянь проводиться за допомогою переходу до перетворень Лапласа за змінною часу у цих системах, а також у вихідних задачах. Таким чином, використовуючи результати про розв’язність еліптичних задач з параметром, а також вивчивши властивості відповідних операторів Пуанкаре-Стєклова, повертаючись у простір оригіналів, вдається довести теореми про однозначну розв’язність вихідних систем граничних рівнянь у однопараметричних шкалах просторів соболєвського типу. Системи граничних інтегральних рівнянь чисельно розв’язуються з використанням кусково-сталої апроксимації.

EN: The thesis for the scientific degree of the Candidate of Physics and Mathematics Science by specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. Kharkov National University of Radio Electronics, Kharkov, 2012. 19 The thesis deals with mathematical models for different types of dynamic problems for thin elastic plates in Kirchhoff models. Namely, the first and second basic initial-boundary-value problems, the contact problem, problems with mixed boundary conditions and problems for thin elastic cracked plate are under considerations. Its purpose is to prove the results about unique solvability of boundary equation systems appearing at solution of corresponding mixed initialboundary-value problems by the potential theory methods. The potential theory allows finding the unknown quantities on domain boundary without any calculations in the whole domain and also makes possible to study uniformity internal and external problems. It is well known fact that the potential theory methods play an impotent role both in studying static and quasistatic problems of elasticity and in solving them numerically. However, their advantages are presented in a good light in the elliptic case. They cannot be directly used in the case of hyperbolic (essentially nonstationary) equations, because the representations of solutions of corresponding problems by the surface potentials lead to the pseudodifferential equations with the time retarded argument. In this case the corresponding boundary operators are not normally solvable and, hence, it makes impossible to use so powerful instrument as Fredholm alternative.