Розвиток методології переходу від спектрального рівняння відносно просторової змінної до диференціального рівняння відносно спектрального параметра у проблемі Штурма-Ліувілля для одновимірно-періодичного двошарового фотонного кристала

Abstract

UA: Актуальність. У зв’язку із розв’язанням задачі про розсіяння електромагнітних хвиль (дифракційної задачі) на таких об’єктах як фотонні кристали (одновимірно-періодичні необмежені) важливим є дослідження дисперсійного співвідношення. Йдеться про розв’язання хвильового рівняння з подальшим застосуванням методу розділення змінних (для дифракційних структур, які розглядаються у роботі, зазначений метод розділення змінних дозволяє отримати розв’язок хвильового рівняння, котре у такому разі виявляється рівнянням з періодичними коефіцієнтами, у явному вигляді) та переходом до проблеми Штурма-Ліувілля на необмеженому інтервалі (−∞, + ∞). Дисперсійне співвідношення дає змогу зрозуміти умови, при яких проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню та пов’язує ці умови з параметрами дифракційної задачі, і тому стає неодмінним щаблем на шляху до отримання розв’язків даного хвильового рівняння. Цей труд продовжує серію виданих раніше робіт з розвитку підходів до вивчення зазначеного дисперсійного співвідношення через розуміння поведінки розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля. Метод матриці перенесення (Transfer matrix method) для хвильового рівняння з періодичними коефіцієнтами дає змогу врахувати специфіку його розв’язання на необмеженому інтервалі (−∞, + ∞), та досягти виконання складової умови, при якій проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню – умови про самоспряженість диференціального оператора в цій проблемі. Це з одного боку, а з іншого – такий метод наочно указує на місце, яке займає розв’язок спектрального рівняння у дисперсійному співвідношенні. Мета роботи спрощення одержаного раніше рівняння, що є наслідком спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля для одновимірно-періодичного двошарового фотонного кристала. Зокрема, інтегрування деяких складових членів лінійного представлення 1-ї й 2-ї похідних від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля. Методи. Метод розділення змінних використовується для розв’язання хвильового рівняння. Метод матриці перенесення (Transfer matrix method) для хвильового рівняння з періодичними коефіцієнтами дає змогу врахувати специфіку його розв’язання на необмеженому інтервалі (−∞, + ∞) та досягти виконання складової умови, при якій проблема Штурма-Ліувілля підлягає вирішенню – умови про самоспряженість диференціального оператора в цій проблемі. Для взяття інтеграла від окремих складових членів лінійного представлення 1-ї й 2-ї похідної від розв’язку спектрального рівняння у проблемі Штурма-Ліувілля використовується метод інтегрування частинами. Результати. У роботі було показано, що в ході ряду послідовних перетворень, коефіцієнт при нульовій похідній у зведеному диференціальному рівнянні (рівнянні відносно спектрального параметра, до якого здійснюється перехід – згідно з назвою роботи) підлягає спрощенню. Зокрема, було проінтегровано квадрат коефіцієнта лінійного представлення 1-ї похідної від розв’язку спектрального рівняння у проблемі ШтурмаЛіувілля.

EN: Relevance. In connection with solving the problem of scattering of electromagnetic waves (diffraction problem) on objects such as photonic crystals (one-dimensional periodic unbounded), it is important to study the dispersion relation. This involves solving the wave equation with subsequent application of the separation of variables method (For the diffraction structures considered in the paper, the specified method of separation of variables allows obtaining a solution to the wave equation, which in this case turns out to be an equation with periodic coefficients, in the explicit form) and transition to the Sturm-Liouville problem on an unbounded interval (−∞, + ∞). The dispersion relation allows us to understand the conditions under which the Sturm-Liouville problem can be solved and connects these conditions with the parameters of the diffraction problem, and therefore becomes an indispensable step on the way to obtaining solutions to this wave equation. This work continues a series of previously published works on the development of approaches to studying the specified dispersion relation through understanding the behavior of the solution of the spectral equation in the SturmLiouville problem. The transfer matrix method for a wave equation with periodic coefficients makes it possible to take into account the specifics of its solution on an unlimited interval (−∞, + ∞), and to achieve the fulfillment of a component condition under which the Sturm-Liouville problem is solvable – the condition of self-adjointness of the differential operator in this problem. This is on the one hand, and on the other hand, such a method clearly indicates the place occupied by the solution of the spectral equation in the dispersion relation. The aim of the work is to simplify the previously obtained equation, which is a consequence of the spectral equation in the Sturm-Liouville problem for a one-dimensional periodic two-layer photonic crystal. In particular, to integrate some of the constituent terms of the linear representation of the 1st and 2nd derivatives of the solution of the spectral equation in the Sturm-Liouville problem. Methods. The separation of variables method is used to solve the wave equation. The transfer matrix method for a wave equation with periodic coefficients makes it possible to take into account the specifics of its solution on an unlimited interval (−∞, + ∞) and achieve the fulfillment of a component condition under which the SturmLiouville problem is solvable – the condition of self-adjointness of the differential operator in this problem. To take the integral of the individual component terms of the linear representation of the 1st and 2nd derivatives of the solution of the spectral equation in the Sturm-Liouville problem, the method of integration by parts is used. Results. The work showed that in the course of a series of successive transformations, the coefficient at zero derivative in the reduced differential equation (the equation relative to the spectral parameter to which the transition is made – according to the title of the work) is subject to simplification. In particular, the square of the coefficient of the linear representation of the 1st derivative of the solution of the spectral equation in the SturmLiouville problem was integrated.