Аналіз та методологія визначення норми власних функцій як граничний перехід у скалярному добутку в спектральній проблемі Штурма-Ліувілля для фотонного одновимірного кристала

Abstract

UA: Актуальність. Останні десятиріччя (приблизно з 90-х років ХХ-го сторіччя) спостерігається стрімкий розвиток фотоніки. Тому, у першу чергу, злободенність теперішньої роботи пов’язана з актуальністю дифракційних задач для структур оптичного діапазону (фотонних кристалів). Задача про обчислення норми власних функцій проблеми Штурма-Ліувілля, зокрема, виникає при розв’язанні хвильових рівнянь методом розділення змінних, а також при здійсненні переходу від однієї повної до іншої повної ортогональної системи (при зведенні до спільного базису – метод Фур’є). Крім того значущість роботи справедливо пов’язувати з можливістю отримати аналітичну залежність, яка дає явний зв’язок між нормою та самою власною функцією. У роботі вибудовується підхід до визначення норми власних функцій спектральної проблеми Штурма-Ліувілля для двошарового нескінченного одновимірного фотонного кристала. В основу даного підходу покладається граничний перехід у відповідному скалярному добутку. Невизначеність, що виникає при граничному переході, розкривається за допомогою правила Лопіталя. Мета роботи – спростити отримане раніше граничне перетворення норми (перетворення, яке безпосередньо виникає при здійсненні граничного переходу у відповідному скалярному добутку). Досягається, головним чином, внаслідок того, що вдається знайти такий розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння (це неоднорідне рівняння отримується взяттям похідної від спектрального рівняння за спектральним параметром), котре задовольняє квазіциклічним умовам на періоді (умовам Флоке). Також автори мали на меті поставити наголос на перевагах теперішнього підходу до обчислення норми, адже останній дає зв’язок між нормою та самою власною функцією у явному вигляді. Матеріали та методи. Інтеграл, що визначає норму (точніше, скалярний добуток) береться на кінцевому проміжку, тому неоднорідне рівняння, що виникає за Лопіталем, розв’язується на кінцевому проміжку, тобто розв’язок цього неоднорідного рівняння відшукується як розв’язок граничної задачі з граничними умовами – умовами Флоке. Спектральне же рівняння в проблемі Штурма-Ліувілля розв’язується на необмеженому інтервалі (−∞, + ∞), тому для того, щоб вписатися в умови самоспряженості, застосовується метод матриць перенесення (transfer matrix method). Результати. Було підібрано такий розв’язок, який задовольняє квазіциклічним умовам на періоді (умовам Флоке). Зазначений розв’язок вибирається з множини усеможливих розв’язків неоднорідного диференціального рівняння, яке за Лопіталем, виникає при граничному переході. В наслідок підстановки цього розв’язку вихідне граничне перетворення норми спрощується. Висновки. Інтерес до перетворення норми, отриманого у наслідок здійснення граничного переходу в відповідному скалярному добутку, справедливо пов’язувати з реалізованою можливостю отримати залежність між нормою та самою власною функцією в аналітичному вигляді. Основна увага приділяється випадку, коли вдається досягти виконання умов Флоке, при отримані розв’язку неоднорідного рівняння, потрібного для знаходження похідної у зв’язку з правилом Лопіталя. У такому разі граничне перетворення норми спрощується.

EN: Relevance The last of the decades (approximately from the 90s of the 20th century) to rapid grow of photonics. That's why, firstly, relevance this work is related to relevance diffraction problems for the structures of optics ranges (photonic crystal). The problem of calculating the norm of eigenfunctions Stourm-Louvile problem, in particular, raised when a waves equations is solved by separating variables method, as well as when making the transition from one complete to another complete orthogonal system (when reducing to a common basis – the Fourier method). In addition, the significance of this work should be associated with the possibility of obtaining an analytical dependence, which gives a clear connection between the norm and its eigenfunctions. The paper develops an approach to determining the norm of the eigenfunctions of the spectral StourmLouvile problem for a two-layer infinite one-dimensional photonic crystal. This approach is based on the limiting transition in the corresponding scalar product. The uncertainty arising at the limit transition is revealed using Lopital's rule. The purpose of the work – Simplify the previously obtained marginal transformation of the norm (the transformation that directly occurs when the marginal transition is carried out in the corresponding scalar product). It is achieved mainly due to the fact that it is possible to find such a solution of a linear inhomogeneous differential equation (this inhomogeneous equation is obtained by taking the derivative of the spectral equation with respect to the spectral parameter) that satisfies the quasi-cyclic conditions on the period (the Floquet conditions). Also, the authors aimed to emphasize the advantages of the current approach to the calculation of the norm, because the latter gives the connection between the norm and the eigenfunction itself in an explicit form. Materials and methods. The integral defining the norm (more precisely, the scalar product) is taken on a finite interval, therefore the inhomogeneous equation arising according to Lopital's is solved on a finite interval, that is, the solution of this inhomogeneous equation is sought as a solution of a boundary value problem with boundary conditions – by the conditions of Floquet. The spectral equation in the StourmLouvile problem is solved on an unlimited interval (-∞, +∞), therefore, in order to fit into the conditions of self-conjugation, the transfer matrix method is used. Results. A solution was chosen that satisfies quasi-cyclic conditions on the period (Floquet conditions). The specified solution is selected from the set of all possible solutions of the inhomogeneous differential equation, which, according to Lopital's, arises at the limit transition. As a result of the substitution of this solution, the original marginal transformation of the norm is simplified. Conclusion. The interest in the transformation of the norm, obtained as a result of the implementation of the limit transition in the corresponding scalar product, is rightly associated with the realized possibility of obtaining the dependence between the norm and the eigenfunction itself in analytical form. The main attention is paid to the case when it is possible to achieve the fulfillment of the conditions of Floquet, when obtaining the solution of the inhomogeneous equation required for finding the derivative in connection with Lopital's rule. In this case, the marginal transformation of the norm is simplified.